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定義：a是不為1的有理數，我們把

1

1-a

稱為a的衍生數．如：2的衍生數是

1

1-2

=-1，-1的衍生數是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a1=-

1

3

，a₂是a₁的衍生數，a₃是a₂的衍生數，a₄是a₃的衍生數，…，依此類推，則a₂₀₁₀=．

定義：a是不為1的有理數，我們把

1

1-a

稱為a的差倒數．如：2的差倒數是

1

1-2

=-1，-1的差倒數是

1

1-(-1)

=

1

2

．已知a₁=-

1

3

，a₂是a₁的差倒數，a₃是a₂的差倒數，a₄是a₃的差倒數，…，依此類推，a₂₀₀₉=．

定義：可以表示為兩個互質整數的商的形式的數稱為有理數，整數可以看作分母為1的有理數；反之為無理數．如

2

不能表示為兩個互質的整數的商，所以，

2

是無理數．
可以這樣證明：
設

2

=

a

b

，a與b 是互質的兩個整數，且b≠0．
則2=

a2

b2

a²=2b²因為b是整數且不為0，所以，a是不為0的偶數，設a=2n，（n是整數），所以b²=2n²，所以b也是偶數，與a，b是互質的正整數矛盾．所以，

2

是無理數．仔細閱讀上文，然后，請證明：

5

是無理數．