題目列表(包括答案和解析)
（本小題共14分）
數列
的前n項和為
，點
在直線
上.
（I）求證：數列
是等差數列；
（II）若數列
滿足
，求數列的前n項和
（III）設
，求證：
（本小題共14分）
數列
的前n項和為
，點
在直線
上.
（I）求證：數列
是等差數列；
（II）若數列
滿足
，求數列的前n項和
（III）設
，求證：
（本小題共14分）
數列
的前n項和為
，點
在直線
上.
（I）求證：數列
是等差數列；
（II）若數列
滿足
，求數列的前n項和
（III）設
，求證：
的前n項和為
，點
在直線
是等差數列；
滿足
，求數列的前n項和
，求證：
（本小題共14分）
數列
的前n項和為
，點
在直線
上.
（I）求證：數列
是等差數列；
（II）若數列
滿足
，求數列的前n項和
（III）設
，求證：
一、選擇題
1.D 2.B 3.C 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C
二、填空題（第一空2分，第二空3分，13題反之）
9． 10．
11． 12．
13．①②③；② 14．
三、解答題
15．解：（1）由已知得，……………………2分
（舍），………………………4分
在三角形ABC中，C=60°. ……………………………6分
（2）…………8分
又
……………………10分
……………………13分
16．[解法一]
（1）證：都為等腰直角三角形，
，………2分
又
……………………4分
（2）解：連AC1交A1C于E點，取AD中點F，連EF、CF，則EF//C1D
是異面直線A1C與C1D所成的角（或補角）…………5分
在………………8分
則異面直線A1C與C1D所成角的大小為………………9分
（3）解：延長A1D與AB延長線交于G點，連結CG
過A作AH⊥CG于H點，連A1H，
平面ABC，（三垂線定理）
則是二面角A1―CG―A的平面角，即所求二面角的平面角……10分
在直角三角形ACG中，，
……………………11分
在直角三角形A1AH中，，………………13分
即所求的二面角的大小為…………14分
[解法二]向量法（略）
17．解：（1）∵切線在兩坐標軸上的截距相等，
∴當截距不為零時，設切線方程為，
又∵圓C：，
∴圓心C（－1，2）到切線的距離等于圓半徑，
即：……………………4分
當截距為零時，設
同理可得
則所求切線的方程為：
或
（2）∵切線PM與半徑CM垂直，
……………………………………8分
∴動點P的軌跡是直線……………………10分
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.
而|PO|的最小值為點O到直線的距離………11分
可得：
則所求點坐標為………………………………13分
18．（1）證明：上
………………1分 ………2分
……………………4分
是首項為2，公比為2的等比數列.
（2）解：由（1）可得，………………………………6分
所以 ……………………8分
（3）
=………………10分
當；…………………………11分
當………………12分
當用數學歸納法證明如下：
當
假設時成立
即
即
當
綜上可知
…………………………14分
綜上可知當；
當
19．解：（1）由題意知
則雙曲線方程為：…………………………3分
（2）設，右準線，
設PQ方程為：
代入雙曲線方程可得：
由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以，
…………………………4分
……4分
由于
由可得：…………………………6分
……………………………………7分
此時
（II）存在實數，滿足題設條件.
的直線方程為：
令得 即
即
又
把（3）（4）代入（2）得：……（5）………………（10分）
由（1）（5）得：……………（11分）
又
令……………………13分
故存在實數μ，滿足題設條件.
20．證明：（I）
………………………………1分
又
……………………………………2分
………………4分
（II）當時，時，
∴只須證明當時，………………………………5分
由②，知A>0，…………………………………………6分
為開口向上的拋物線，其對稱軸方程為
又……9分
，有
為[0，2]上的增函數.
時，有
即……………………………………………13分
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