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如圖，在棱長為1 的正方體中，、分別為和的中點．
（1）求異面直線和所成的角的余弦值；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

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如圖，在棱長為1的正方體中，、、分別是棱、、的中點．

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求點到平面的距離；
（Ⅲ）求二面角的大小．

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一、填空題：（本大題共14小題，每小題5分，共70分．）

1．       2．1    3．－2     4．      5． （1）（2）

6． 4    7．甲       8．    9．9      10．

11．－2       12．       13．2       14． 2

二、解答題：（本大題共6小題,共90分．）

15．（本小題滿分14分）

解：（1）∵

∴        …………………………………………5分

（2）∵∴

…………………………………………7分

         ……………………………………9分

或或7                   ………………………………14分

16．（本小題滿分14分）

(1)證明：E、P分別為AC、A′C的中點，

        EP∥A′A，又A′A平面AA′B，EP平面AA′B

       ∴即EP∥平面A′FB                  …………………………………………5分

(2) 證明：∵BC⊥AC，EF⊥A′E，EF∥BC

   ∴BC⊥A′E，∴BC⊥平面A′EC

     BC平面A′BC

   ∴平面A′BC⊥平面A′EC             …………………………………………9分

(3)證明：在△A′EC中，P為A′C的中點，∴EP⊥A′C，

  在△A′AC中，EP∥A′A，∴A′A⊥A′C

      由(2)知：BC⊥平面A′EC   又A′A平面A′EC

      ∴BC⊥AA′

      ∴A′A⊥平面A′BC                   …………………………………………14分

17．（本小題滿分15分）

解：（1）取弦的中點為M，連結OM

由平面幾何知識，OM=1

                   …………………………………………3分

解得：，               ………………………………………5分

∵直線過F、B ，∴則     …………………………………………6分

（2）設弦的中點為M，連結OM

則

              ……………………………………9分

解得                       …………………………………………11分

∴                    …………………………………………15分

（本題也可以利用特征三角形中的有關數據直接求得）

18．（本小題滿分15分）

（1）延長BD、CE交于A，則AD=，AE=2

     則S_△ADE= S_△BDE= S_△BCE=

      ∵S_△APQ=，∴

      ∴             …………………………………………7分

（2）

          =?

…………………………………………12分

    當，

即，            

…………………………………………15分

19．（本小題滿分16分）

解（1）證：       由  得

在上點處的切線為，即

又在上點處切線可計算得，即

∴直線與、都相切，且切于同一點（）      …………………5分

（2）

      …………………7分

   ∴在上遞增

   ∴當時……………10分

（3）

設上式為 ，假設取正實數，則?

當時，，遞減；

當，，遞增． ……………………………………12分

∴不存在正整數，使得

即                  …………………………………………16分

20．（本小題滿分16分）

解：（1），

，對一切恒成立

的最小值，又 ，

                       …………………………………………4分

（2）這5個數中成等比且公比的三數只能為

只能是，

      …………………………8分

，顯然成立             ……………………………………12分

當時，，

使不等式成立的自然數n恰有4個的正整數p值為3

                          ……………………………………………16分

泰州市2008～2009學年度第二學期期初聯考

高三數學試題參考答案

附加題部分

21．（選做題）（從A，B，C，D四個中選做2個，每題10分，共20分．）

A．解：(1)

∴

∴AB=CD                            ……………………………………4分

（2）由相交弦定理得

2×1=(3+OP)(3-OP)

∴，∴               ……………………………………10分

B．解：依題設有：     ………………………………………4分

 令，則           …………………………………………5分

           …………………………………………7分

  ………………………………10分

C．解：以有點為原點，極軸為軸正半軸，建立平面直角坐標系，兩坐標系中取相同的長度單位．（1），，由得．

所以．

即為圓的直角坐標方程．  ……………………………………3分

同理為圓的直角坐標方程． ……………………………………6分

（2）由　　　　　　

相減得過交點的直線的直角坐標方程為． …………………………10分

D．證明：（1）因為

    所以          …………………………………………4分

    （2）∵   …………………………………………6分

    同理，，……………………………………8分

    三式相加即得……………………………10分

22．（必做題）（本小題滿分10分）

解：（1）記“恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學”為事件的, 則其概率為                …………………………………………4分

    答：恰好選到1個曾經參加過數學研究性學習活動的同學的概率為

（2）隨機變量

                        ……………………5分

                   …………………………6分

                  ………………………………7分

∴隨機變量的分布列為

2

3

4

P

∴                    …………………………10分

23．（必做題）（本小題滿分10分）

（1），，，

，

              ……………………………………3分

（2）平面BDD₁的一個法向量為

設平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個法向量

∴所求的余弦值為                     ……………………………………6分

（3）設（）

，由得

即，

當時，

當時，∴   ……………………………………10分