Question

如圖，在棱長為1的正方體中，是側棱上的一點，。

（Ⅰ）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；

（Ⅱ）、在線段上是否存在一個定點，使得對任意的，在平面上的射影垂直于，并證明你的結論。

Answer 1

解法1：（Ⅰ）連AC，設AC與BD相交于點O,AP與平面相交于點，,連結OG，因為

PC∥平面，平面∩平面APC＝OG,

故OG∥PC，所以，OG＝PC＝.

又AO⊥BD,AO⊥BB1，所以AO⊥平面，         

故∠AGO是AP與平面所成的角.

在Rt△AOG中，tanAGO＝，即m＝.

所以，當m＝時，直線AP與平面所成的角的正切值為.

（Ⅱ）可以推測，點Q應當是A₁C₁的中點O₁，因為

D₁O₁⊥A₁C₁, 且 D₁O₁⊥A₁A ，所以 D₁O₁⊥平面ACC₁A₁，

又AP平面ACC₁A₁，故 D₁O₁⊥AP.

那么根據三垂線定理知，D₁O₁在平面APD₁的射影與AP垂直。