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如圖，在棱長為1的正方體中，、分別為和的中點．

（1）求異面直線和所成的角的余弦值；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）若點在正方形內部或其邊界上，且平面，求的最大值、最小值．

【答案】

（1）

（2）余弦值為

（3）

當時，

當時，∴

【解析】

（1），，，

，

………………………………4分

（2）平面BDD₁的一個法向量為

設平面BFC₁的法向量為

∴

取得平面BFC₁的一個法向量

∴所求的余弦值為 ………………………………10分

（3）設（）

，由得

即，

當時，

當時，∴ ……………………………16分

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，在棱長都相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別為AA₁，B₁C的中點．
（1）求證：DE∥平面ABC；
（2）求證：B₁C⊥平面BDE．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，一棱長為2的正四面體O-ABC的頂點O在平面α內，底面ABC平行于平面α，平面OBC與平面α的交線為l．
（1）當平面OBC繞l順時針旋轉與平面α第一次重合時，求平面OBC轉過角的正弦
值．
（2）在上述旋轉過程中，△OBC在平面α上的投影為等腰△OB₁C₁（如圖1），B₁C₁的中點為O₁．當AO⊥平面α時，問在線段OA上是否存在一點P，使O₁P⊥OBC？請說明理由．