Question

如圖，在棱長為1的正方體中，、、分別是棱、、的中點．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求點到平面的距離；

（Ⅲ）求二面角的大小．

Answer 1

（Ⅰ）證明略；

（Ⅱ）點到平面的距離為；

（Ⅲ）二面角的大小是.

解析:

（Ⅰ）證明：連結、、、，

∵、分別是棱、的中點，由全等的正方形中對應的線段長度相等可得＝＝＝，∴四邊形是菱形，∴．　　　　　　　　　　　　

（Ⅱ）解：在面上的射影是，，∴．

∵、分別是棱、的中點，∴∥，∴．

由（Ⅰ）有，與是平面內兩相交直線，∴平面．

設，則，即點到平面的距離等于．

（Ⅲ）解：取的中點，連結、，由全等的正方形中對應的線段長度相等可得＝，∴，由（Ⅱ）有平面，∴是二面角的平面角．　　　　　　　　　　　　　　   

在中，，，

∴．　　　　　　　　　　　

在中，，，∴．

∴　二面角的大小是．