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已知f(x)=

2

3

x3-2x2+cx+4，g（x）=e^x-e^2-x+f（x），
（1）若f（x）在x=1+

2

處取得極值，試求c的值和f（x）的單調增區間；
（2）如圖所示，若函數y=f（x）的圖象在[a，b]連續光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈（a，b），使得f′(c)=

f(b)-f(a)

b-a

，利用這條性質證明：函數y=g（x）圖象上任意兩點的連線斜率不小于2e-4．

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已知f(x)=x³-2x²+cx+4，g(x)=e^x-e^2-x+f(x)，
(1)若f(x)在x=1+處取得極值，試求c的值和f(x)的單調增區間；
(2)如下圖所示，若函數y=f(x)的圖象在[a，b]上連續光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈(a，b)使得f′(c)=？[用含有a，b，f(a)，f(b)的表達方式直接回答，不需要寫猜想過程]
(3)利用(2)證明：函數y=g(x)圖象上任意兩點的連線斜率不小于2e-4。

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難點磁場

解：(1)f(x)=3, f(x)=－1,所以f(x)不存在，所以f(x)在x=－1處不連續，

但f(x)=f(－1)=－1, f(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1處右連續，左不連續

f(x)=3=f(1), f(x)不存在，所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1不連續，但左連續，右不連續.

又f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續.

(2)f(x)中，區間(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三個函數都是初等函數，因此f(x)除不連續點x=±1外，再也無不連續點，所以f(x)的連續區間是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5.

殲滅難點訓練

一、1.解析：

答案：A

2.解析：

即f(x)在x=1點不連續，顯知f(x)在(0,1)和(1,2)連續.

答案：C

二、3.解析：利用函數的連續性，即,

答案：

答案：

三、5.解：f(x)=

(1) f(x)=－1, f(x)=1,所以f(x)不存在，故f(x)在x=0處不連續.

(2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再無間斷點，由(1)知f(x)在x=0處右連續，所以f(x)在［

－1，0］上是不連續函數，在［0,1］上是連續函數.

6.解：(1)f(－x)=

(2)要使f(x)在(－∞,+∞)內處處連續，只要f(x)在x=0連續，f(x)

= =

f(x)=(a+bx)=a,因為要f(x)在x=0處連續，只要 f(x)= f(x)

= f(x)=f(0),所以a=

7.證明：設f(x)=a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃,函數f(x)在(－∞,+∞)連續，且x→+∞時，f(x)→+∞;x→－∞時，f(x)→－∞,所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,?+∞),使f(a)?f(b)＜0,所以f(x)的圖象至少在(a,b)上穿過x軸一次，即f(x)=0至少有一實根.

8.解：不連續點是x=1,連續區間是(－∞,1),(1,+∞)