Question

已知f(x)=x³-2x²+cx+4，g(x)=e^x-e^2-x+f(x)，
(1)若f(x)在x=1+處取得極值，試求c的值和f(x)的單調增區間；
(2)如下圖所示，若函數y=f(x)的圖象在[a，b]上連續光滑，試猜想拉格朗日中值定理：即一定存在c∈(a，b)使得f′(c)=？[用含有a，b，f(a)，f(b)的表達方式直接回答，不需要寫猜想過程]
(3)利用(2)證明：函數y=g(x)圖象上任意兩點的連線斜率不小于2e-4。

Answer 1

解：(1)，依題意有，
即=-2，
∴，
令f′(x)＞0，得或，
從而f(x)的單調增區間為或。
(2)；
(3)由已知，
所以，
=2e-4，
由(2)知，對于函數y=g(x)圖象上任意兩點A，B，
在A，B之間一定存在一點C(c，g(c))，使得，
又g′(x)≥2e-4，故有，證畢。