Question

已知函數f(x)=mx³+nx²(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

（1）求n,m的關系式并求f(x)的單調減區間；

（2）證明：對任意實數0<x₁<x₂<1, 關于x的方程：

在（x₁,x₂）恒有實數解

（3）結合（2）的結論，其實我們有拉格朗日中值定理：若函數f(x)是在閉區間[a,b]上連續不斷的函數，且在區間(a,b)內導數都存在，則在(a,b)內至少存在一點x₀，使得.如我們所學過的指、對數函數，正、余弦函數等都符合拉格朗日中值定理條件.試用拉格朗日中值定理證明：

當0<a<b時，（可不用證明函數的連續性和可導性）

Answer 1

解：(1)因為f’(x)=3mx²+2nx,---1’ 由已知有f’(2)=0,所以3m+n=0即n=-3m

即f’(x)=3mx²-6mx,由f’(x)>0知mx(x-2)>0.

當m>0時得x<0或x>2，f(x)的減區間為（0，2）；

當m<0時得：0<x<2,f(x)的減區間為（-∞，0），（2，+∞）；

綜上所述：當m>0時，f(x)的減區間為（0，2）；

當m<0時,f(x)的減區間為（-∞，0），（2，+∞）；

可化為3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂=0,令h(x)= 3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂

則h(x₁)=(x₁-x₂₎(2x₁+x₂-3),h(x₂)=(x₂-x₁)(x₁+2x₂-3),

即h(x₁)h(x₂)=-(x₁-x₂)²(2x₁+x₂-3)(x₁+2x₂-3)     

又因為0<x₁<x₂<1,所以(2x₁+x₂-3)<0,(x₁+2x₂-3)<0,  即h(x₁)h(x₂)<0,

故h(x)=0在區間(x₁,x₂)內必有解，

即關于x的方程在（x₁,x₂）恒有實數解

（3）令g(x)=lnx,x∈(a,b)，

則g(x)符合拉格朗日中值定理的條件,即存在x₀∈（a,b）,使

因為g’(x)=,由x∈(a,b),0<a<b可知g’(x)∈(),b-a>0

即。