題目列表(包括答案和解析)
已知函數
圖象上一點
處的切線方程為
.
（1）求
的值；
（2）若方程
在
內有兩個不等實根，求
的取值范圍（其中
為自然對數的底數）；（3）令
，若
的圖象與
軸交于
（其中
），
的中點為
，求證：在
處的導數
已知函數
，函數
的導函數
，且
，其中
為自然對數的底數．
（1）求
的極值；
（2）若
，使得不等式
成立，試求實數
的取值范圍；
（3）當
時，對于
，求證：
．
已知
，函數
，
（其中
為自然對數的底數）．（1）判斷函數
在
上的單調性；
（2）是否存在實數
，使曲線
在點
處的切線與
軸垂直? 若存在，
求出
的值；若不存在，請說明理由．
（3）若實數
滿足
，求證：
。
（本小題滿分12分）已知數列
的前
項和為
，且
，
；（1）求數列的通項公式
（2）設數列
滿足：
，且
，求證：
（3）若（2）問中數列 滿足 
，
求證：
（其中
為自然對數的底數）。
已知
，函數
，
（其中
為自然對數的底數）．
（1）判斷函數
在
上的單調性；
（2）是否存在實數
，使曲線
在點
處的切線與
軸垂直? 若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
（3）若實數
滿足
，求證：
說明：
一、本解答給出一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題
的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．
二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的
內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如
果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得累加分．
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．
一、選擇題(每小題5分，滿分60分)
1．C 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．A 8．D 9．B 10．B 11．A 12．C
簡答與提示：
1．
，故選C.
2．∵
∴
，故選D．
3．因為四個命題均有線在面內的可能，所以均不正確，故選D．
4．
，故選C．
5．利用疊加法及等比數列求和公式，可求得
，故選B.
6．以
為直徑的圓與圓
的公共弦即為所求，直線方程為
，故
選B．
7．
，將
的圖象先向左平移
個單位得到
的圖象，再沿
軸將橫坐標壓縮到原來的
倍(縱坐標不變)得到
的圖象，故選A．
8．在點(0，一1)處目標函數取得最大值為9，故選D．
9．先在后三位中選兩個位置填兩個數字“
種填法，再排另兩張卡片有
種排
法，再決定用數字“
個四位數，
故選B．
10．依題意
，∴
，故選B．
11．因為函數
在其定義域內為減函數，所以
恒成立，即
為減函數(切線斜率減小)，故選A．
12．
，
∵
，∴
，當A、F、B
三點共線時取得最小值，故選C．
二、填空題(每題5分．共20分}
13．3 14．
15．28 16．①③
簡答與提示：
13．∵V正四面體 
，∴
.
14．∵
，∴
，∴
．
15．∵
，
∴
，∴
．
16．∵
，
∴
，
∵
，
∴
，故①③正確．
三、解答題(滿分70分)
17．本小題主要考查三角函數的基本公式、三角恒等變換、三角函數圖象及性質．
解：(1)∵
(4分)
∴
．
(2)當
，即
時，
，
， (6分)
當
，即
，
，
∴函數
的值域為[
，1]．
(10分)
18．本小題主要考查概率的基本知識與分類思想，考查運用數學知識分析問題解決問題的
能力．
解．(1)中一等獎的概率為
，
(2分)
中二等獎的概率為
，
(4分)
中三等獎的概率為
，
(6分)
∴搖獎一次中獎的概率為
(7分)
(2) 由(1)可知，搖獎一次不中獎的概率為
(9分)
設搖獎一次莊家所獲得的金額為隨機變量
，則隨機變量的分布列為：
∴
∴搖獎一次莊家獲利金額的期望值為
元 (12分)
19．本小題主要考查空間線面位置關系、異面直線所成角、二面角等基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力以及空間向量的應用．
解法一：(1)證明：
取
中點為
，連結、
，
∵△
是等邊三角形，
∴
又∵側面
底面
，
∴
底面，
∴為
在底面上的射影，
又∵
，
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
．
(2)取中點
，連結
、
，
(6分)
∵
．
∴
．
又∵，
，
∴
平面
，
∴，
∴
是二面角
的平面角.
(9分)
∵，
，
∴
．
∴
，
∴
，
∴
，
∴二面角的大小為
(12分)
解法二：證明：(1) 取中點為，
中點為
，連結
，
∵△是等邊三角形，
∴，
又∵側面底面，
∴底面，
∴以為坐標原點，建立空間直角坐標系
如圖， (2分)
∵，△是等邊三角形，
∴
，
∴
．
∴
．
∵
∴．
(2)設平面
的法向量為
∵
∴
令
，則
，∴
(8分)
設平面
的法向量為
，
∵
，
∴
，
令
，則
，∴
(10分)
∴
，
∴
，
∴二面角的大小為.
(12分)
20．本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎知識，考查軌跡的求法以及綜合解題能力
解：(1)設
，則
∵
,∴
，∴
，
(3分)
又
，∴
∴曲線
的方程為
(6分)
(2)由(1)可知， (4，0)為橢圓的右焦點，設直線
方程為
，由
消去得，
，
∴
(9分)
∴
，
當
，即
時取得最大值，
此時直線方程為
.
(12分)
21．本小題主要考察等差數列定義、通項、數列求和、不等式等基礎知識，考察綜合分析問題的能力和推理論證能力．
解：(1)∵
，
∴
(2分)
∴
，
∵
∴
.
(4分)
∵
∴
，∴
，
∴
，
∴數列
是以2為首項，以1為公差的等差數列，
∴
，∴
，
∴
．
(7分)
(2)
，
∵
∴
(10分)
當
時，
，
當
時，
，
∴
.
(12分)
22．本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式等基礎知識，考查運用導數研究函數性質
的方法，考查分析問題和解決問題的能力．
解：(1)∵
∴
，
(1分)
設
.
∴
，
∴
(1+z)在
上為減函數．
(3分)
∴
，
∴
，
∴函數
在
上為減函數．
(5分)
(2)
在上恒成立，
在上恒成立，
(6分)
設
，則
，
∴
，
(7分)
若
，則
時，
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