Question

已知，函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

 

（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；

（2）是否存在實(shí)數(shù)，使曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直? 若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若實(shí)數(shù)滿足，求證：

 

Answer 1

【答案】

 

（1）∵，，∴． ……（1分）

①若，則，在上單調(diào)遞增；                  ……（2分）

②若，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，            ……（4分）

③若，則，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.   ……（5分）

（2）解：∵，，

， ……（6分）

由（1）易知，當(dāng)時(shí)，在上的最小值：，

即時(shí)，．                                    …（7分）

又，∴．…8分

曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解．

而，即方程無(wú)實(shí)數(shù)解．故不存在.                  ……（9分）

（3）證明：

，由（2）知，令得.……（14分）

 

【解析】略