Question

（本題滿分14分）已知，函數，（其中為自然對數的底數）．

（Ⅰ）判斷函數在上的單調性；

（II）是否存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，

求出的值；若不存在，請說明理由；

（Ⅲ）若實數滿足，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）①若，則，在上單調遞增；  ②若，當時，函數在區間上單調遞減；當時，函數在區間上單調遞增；③若，函數在區間上單調遞減.  

（2）故不存在；（3）見解析.

【解析】第一問中，利用導數的思想，先求解定義域，然后令導數大于零，小于零，得到函數的單調區間。但是要對參數a分情況討論得到

第二問中，假設存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直，利用曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解．

進行分析求解

第三問中，要證，先變形然后利用第二問的結論證明。

 

解（1）∵，，∴． ……1分

①若，則，在上單調遞增；                  ……2分

②若，當時，，函數在區間上單調遞減，

當時，，函數在區間上單調遞增，            ……4分

③若，則，函數在區間上單調遞減.   ……………………5分

（2）解：∵，，

， ……6分

由（1）易知，當時，在上的最小值：，即時，．                     ………………………8分

又，∴．                     ……9分

曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解．

而，即方程無實數解．故不存在.       ………………………10分

（3）證明：

，由（2）知，令得.……14分