已知
，函數(shù)
，
（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求函數(shù)
在區(qū)間
上的最小值；
（2）是否存在實數(shù)
，使曲線
在點
處的切線與
軸垂直? 若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
（1）當(dāng)
時，函數(shù)
在區(qū)間
上無最小值；
當(dāng)
時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
；
當(dāng)
時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為
．
（2） 不存在
，使曲線
在點
處的切線與
軸垂直
（1）解：∵
，∴
．
令
，得
．
①若，則
，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)
無最小值．
②若，當(dāng)
時，
，函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞減，
當(dāng)
時，，函數(shù)在區(qū)間
上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值．
③若，則
，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)
時，函數(shù)取得最小值．
綜上可知，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上無最小值；
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；
當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．
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（2）解：∵
，
，
∴ 
．
由（1）可知，當(dāng)
時，
．
此時在區(qū)間上的最小值為
，即
．
當(dāng)，
，
，
∴
．
曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程
有實數(shù)解．
而
，即方程無實數(shù)解．
故不存在，使曲線在點處的切線與軸垂直．
一本好題口算題卡系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆浙江省寧波萬里國際學(xué)校高三上期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題
（本題滿分14分）已知
，函數(shù)
，
（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）判斷函數(shù)
在
上的單調(diào)性；
（II）是否存在實數(shù)
，使曲線
在點
處的切線與
軸垂直? 若存在，
求出
的值；若不存在，請說明理由；
（Ⅲ）若實數(shù)
滿足
，求證：
．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年黑龍江省高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題
已知
，函數(shù)
，（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）判斷函數(shù)
在
上的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)
，使曲線
在點
處的切線與
軸垂直? 若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年江西省高三第七次月考理科數(shù)學(xué) 題型：解答題
已知
，函數(shù)
，
（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）判斷函數(shù)
在
上的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)
，使曲線
在點
處的切線與
軸垂直? 若存在，
求出
的值；若不存在，請說明理由．
（3）若實數(shù)
滿足
，求證：
。
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：河北省2010年高考適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷理 題型：解答題
已知
，函數(shù)
，
（其中
為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）判斷函數(shù)
在區(qū)間
上的單調(diào)性；（2）是否存在實數(shù)
，使曲線
在點
處的切線與
軸垂直? 若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由．
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