Question

已知，函數，（其中為自然對數的底數）．（1）判斷函數在上的單調性；

（2）是否存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直? 若存在，

求出的值；若不存在，請說明理由．

（3）若實數滿足，求證：。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）∵，，∴． ……（1分）

①若，則，在上單調遞增；                  ……（2分）

②若，當時，，函數在區間上單調遞減，

當時，，函數在區間上單調遞增，            ……（4分）

③若，則，函數在區間上單調遞減.   ……（5分）

（2）解：∵，，

， ……（6分）

由（1）易知，當時，在上的最小值：，

即時，．                                    …（7分）

又，∴．…8分

曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解．

而，即方程無實數解．故不存在.                  ……（9分）

（3）證明：

，由（2）知，令得.……（14分）

 

【解析】略