Question

已知函數，函數的導函數，且，其中為自然對數的底數．

（1）求的極值；

（2）若，使得不等式成立，試求實數的取值范圍；

（3）當時，對于，求證：．

 

Answer 1

【答案】

(1)當時，沒有極值；

當時，存在極大值，且當時，.

(2).

(3)見解析.

【解析】

試題分析：(1) 首先確定函數的定義域為，求導數．為確定函數的極值，應討論，的不同情況.

(2) 首先求出，將問題轉化成，使得成立，

引入，將問題可轉化為：

利用導數求的最大值，得解.

(3)當時，，構造函數，即，

應用導數研究函數的單調性、極值，得到.

方法比較明確，分類討論、轉化與化歸思想的應用，是解決問題的關鍵.

試題解析：(1) 函數的定義域為，．

當時，，在上為增函數，沒有極值； 1分

當時，，

若時，；若時，

存在極大值，且當時，

綜上可知：當時，沒有極值；當時，存在極大值，且當時， 4分

(2) 函數的導函數，

，， 5分

，使得不等式成立，

，使得成立，

令，則問題可轉化為：

對于，，由于，

當時，，，，

，從而在上為減函數，

9分

(3)當時，，令，則，

，且在上為增函數

設的根為，則，即

當時，，在上為減函數；當時，，在上為增函數，

，，

由于在上為增函數，

14分

考點：應用導數研究函數的單調性、最（極）值，轉化與化歸思想，應用導數證明不等式.