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已知△ABC中，∠C=

π

2

．設∠CBA=θ，BC=a，它的內(nèi)接正方形DEFG的一邊EF在斜邊AB上，D、G分別在AC、BC上．假設△ABC的面積為S，正方形DEFG的面積為T．用a，θ表示△ABC的面積S和正方形DEFG的面積T；
設f(θ)=

T

S

，試求f（θ）的最大值P，并判斷此時△ABC的形狀．

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已知A、B、C為的三個內(nèi)角，向量，且
（1）求的值；
（2）求C的最大值，并判斷此時的形狀.

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1.B  2.B  3.C  4.C  5.B  6.D  7.A  8.C  9.D  10.A

11．3¹⁰⁰³              12．60          13．      14．  15．①②⑤

16．解：（1）設“取出兩個紅球”為事件A，“取出一紅一白兩個球”為事件B，則

……2分

由題意得

則有，可得……4分

∵，∴m為奇數(shù)……6分

（2）設“取出兩個白球”為事件C，則……7分

由題意知，即有
可得到，從而m+n為完全平方數(shù)……9分

又m≥n≥4及m+n≤20得9≤m+n≤20

得到方程組：；

解得：，（不合題意舍去）……11分

故滿足條件的數(shù)組（m, n）只有一組（10，6）……12分

17．解：（1）∵，……2分

即

即……4分

由于，故……6分

（2）由……8分

……10分

當且僅當tanA=tanB，即A=B時，tanC取得最大值.

所以C的最大值為，此時為等腰三角形. ……12分

18．解：設裁員x人，可獲得的經(jīng)濟效益為y萬元，

則……4分

依題意

又140<2a<420, 70<a<210. ……6分

（1）當時，x=a-70, y取到最大值；……8分

（2）當時，， y取到最大值；……10分

答：當時，裁員a-70人；當時，裁員人……12分

19．解法一：（1）作，垂足為O，連結AO，由側面底面ABCD，得底面ABCD. 因為SA=SB，所以AO=BO. 又，故為等腰直角三角形， 由三垂線定理，得

（2）由（1）知，依題設，故，由，得 所以的面積 連結DB，得的面積 設D到平面SAB的距離為h，由，

得，解得

設SD與平面SAB所成角為，則 所以直線SD與平面SAB所成的角為

解法二：（1）作，垂足為O，連結AO，由側面底面ABCD，得平面ABCD. 因為SA=SB，所以AO=BO. 又，為等腰直角三角形，

如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O―xyz， ，所以

（2）取AB中點E，. 連結SE，取SE中點G，連結OG，

，OG與平面SAB內(nèi)兩條相交直線SE、AB垂直，所以平面SAB.的夾角記為，SD與平面SAB所成的角記為，則與互余.

所以直線SD與平面SAB所成的角為

20．解：（1）∵焦點F為（1，0），過點F且與拋物線交于點A、B的直線可設為，代入拋物線得：，則有……2分

進而……4分

又，

得為鈍角，故不是直角三角形.……6分

（2）由題意得AB的方程為，

代入拋物線，求得……8分

假設拋物線上存在點，使為直角三角形且C為直角，此時，以AC為直徑的圓的方程為，將A、B、C三點的坐標代入得：

整理得：……10分

解得對應點B，對應點C……12分

則存在使為直角三角形.

故滿足條件的點C有一個：……13分

∴

令

由

∴當時，h(t)單調(diào)遞增，∴h(t)>h(1)=0

于是……②

由①、②可知……10分

所以，，即……11分

（3）由（2）可知

在中令n=1, 2, 3, …, 2007，并將各式相加得

即……14分