Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且1+cos（π+2A）=2sin²

B+C

2

．
（1）求角A的大小；
（2）當a=6時，求其面積的最大值，并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）將條件1+cos（π+2A）=2sin²

B+C

2

化簡，結合A是三角形的內角，可求角A的大小；
（2）先利用余弦定理得bc≤36，又由于S=

3

4

bc，故可求面積的最大值，根據取最大時b=c及（1）的結論可知△ABC的形狀．

解答：解：（1）由已知得：1-cos2A=2cos2

A

2

，∴4sin2

A

2

cos2 

A

2

=cos2

A

2

，∴sin

A

2

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）b²+c²-bc=36，∴bc≤36，故三角形的面積S=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤9

3

．
當且僅當b=c時等號成立；又A=

π

3

，故此時△ABC為等邊三角形．

點評：本題主要考查三角函數與三角形的結合，考查三角形的面積公式即基本不等式的運用，屬于基礎題．