Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別是a、b、c．滿足2acosC+ccosA=b．則sinA+sinB的最大值是（　�。�

• A、

  2

  2

• B、1
• C、

  2

• D、

  1+ 2

  2

Answer 1

分析：先根據正弦定理把邊化成角的正弦代入題設，化簡可得SinAcosC=0．因A為三角形內角排除sinA=0，進而可知cosC=0，即C=90°，即sinB=cosA，代入sinA+sinB，通過兩角和公式化簡成

2

sin（A+

π

4

）進而得出答案．

解答：解：∵2acosC+ccosA=b
∴根據正弦定理SinAcosC+sinAcosC+sinCcosA=sinB
∴SinAcosC+sin（A+C）=sinB
∴SinAcosC=0
∵A，B，C為三角形內角，
∴sinA≠0，
∴cosC=0
∴C=90°
∴sinB=cosA
∴sinA+sinB=sinA+cosA=

2

（

2

2

sinA+

2

2

cosA）=

2

sin（A+

π

4

）≤

2

∴sinA+sinB的最大值是）

2

故答案選C．

點評：本題主要考查正弦定理和三角函數中兩角和公式的應用．解決本題的關鍵是通過正弦定理完成邊角互化．