Question

△ABC的外接圓半徑R=

3

，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且

2sinA-sinC

sinB

=

cosC

cosB

（1）求角B和邊長b；
（2）求S_△ABC的最大值及取得最大值時的a，c的值，并判斷此時三角形的形狀．

Answer 1

分析：（1）運用兩角和的正弦公式將已知等式化簡整理，得到2sinAcosB=sin（B+C），根據三角函數的誘導公式可得sin（B+C）=sinA＞0，從而得出cosB=

1

2

，可得B=

π

3

，最后由正弦定理加以計算，可得邊b的長；
（2）由b=3且cosB=

1

2

，利用余弦定理算出a²+c²-ac=9，再根據基本不等式算出ac≤9．利用三角形的面積公式算出S_△ABC=

3

4

ac，從而得到當且僅當a=c時，S_△ABC有最大值

9 3

4

，進而得到此時△ABC是等邊三角形．

解答：解：（1）∵

2sinA-sinC

sinB

=

cosC

cosB

，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，可得2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C），
∵在△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴2sinAcosB=sinA，可得cosB=

1

2

．
又∵B∈（0，π），∴B=

π

3

，
由正弦定理

b

sinB

=2R，可得b=2RsinB=2

3

•sin

π

3

=3；
（2）∵b=3，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得a²+c²-ac=9，
因此，ac+9=a²+c²≥2ac，可得ac≤9，當且僅當a=c時等號成立，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3

4

ac，∴S△ABC≤

3

4

×9=

9 3

4

由此可得：當且僅當a=c時，S_△ABC有最大值

9 3

4

，此時a=b=c=3，可得△ABC是等邊三角形．

點評：本題已知三角形的內角滿足的三角函數關系式，求角B的大小并依此求三角形面積的最大值，著重考查了正余弦定理、兩角和的正弦公式、基本不等式和三角形的面積公式等知識，屬于中檔題．