Question

在△ABC中，滿足（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB，且△ABC的外接圓半徑為

2

．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面積S的最大值，并判斷此時的三角形形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosC，再利用正弦定理化簡已知的等式，變形后代入cosC中，約分后求出cosC的值，由C為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（Ⅱ）由正弦定理得到c=2rsinC，將已知r及sinC的值代入求出c的長，代入

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

中，整理后再利用基本不等式變形，求出ab的最大值，并求出取得最大值時a=b=

6

，由ab的最大值及sinC的值，即可求出三角形ABC面積的最大值，且得到此時a=b，加上C的度數，即可判斷出三角形ABC為等邊三角形．

解答：解：（Ⅰ）利用正弦定理化簡（a-c）（sinA+sinC）=（a-b）sinB得：a²-c²=ab-b²，
變形得：a²+b²-c²=ab，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
又C為三角形的內角，
則C=

π

3

；
（Ⅱ）∵

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，又c=2rsinC=2×

2

×

3

2

=

6

，
∴ab=a²+b²-6≥2ab-6，即ab≤6，
∴當a=b=

6

時，（ab）_max=6，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3 3

2

，
又a=b，且C=

π

3

，
則此時△ABC為等邊三角形．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．