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已知數列{a_n}中，a₁＝1，a_n＜a_n+1，設b_n＝·S_n＝b₁＋b₂＋…b_n，求證：

(Ⅰ)

(Ⅱ)若數列{a_n}是公比為q且q≥3的等比數列，則S_n＜1．

已知向量，(n為正整數)，函數，設f(x)在(0，＋∞上取最小值時的自變量x取值為a_n．

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)已知數列{b_n}，對任意正整數n，都有b_n·(－5)＝1成立，設S_n為數列{b_n}的前n項和，求S_n；

(3)在點列A₁(1，a₁)、A₂(2，a₂)、A₃(3，a₃)、…、A_n(n，a_n)、…中是否存在兩點A_i，A_j(i，j為正整數)使直線A_iA_j的斜率為1？若存在，則求出所有的數對(i，j)；若不存在，請你寫出理由．

(Ⅱ)求函數f(x)的最大值；

已知各項均為非負整數的數列A₀∶a₀，a₁，…，a_n(n∈N^*)，滿足a₀＝0，a₁＋…＋a_n＝n．若存在最小的正整數k，使得a_k＝k(k≥1)，則可定義變換T，變換T將數列A₀變為數列T(A₀)∶a₀＋1，a₁＋1，…，a_k－1＋1，0，a_k+1，…，a_n．設A_i+1＝T(A_i)，i＝0，1，2…．

(Ⅰ)若數列A₀∶0，1，1，3，0，0，試寫出數列A₅；若數列A₄∶4，0，0，0，0，試寫出數列A₀；

(Ⅱ)證明存在唯一的數列A₀，經過有限次T變換，可將數列A₀變為數列；

(Ⅲ)若數列A₀，經過有限次T變換，可變為數列．設S_m＝a_m＋a_m+1＋…＋a_n，m＝1，2，…，n，求證a_m＝S_m－[](m＋1)，其中[]表示不超過的最大整數．

已知{a_n}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為A_n，第n項之后各項a_n+1，a_n+2…的最小值記為B_n，d_n＝A_n－B_n

(Ⅰ)若{a_n}為2，1，4，3，2，1，4，3…，是一個周期為4的數列(即對任意n∈N^*，a_n+4＝a_n)，寫出d₁，d₂，d₃，d₄的值；

(Ⅱ)設d為非負整數，證明：d_n＝－d(n＝1，2，3…)的充分必要條件為{a_n}為公差為d的等差數列；

(Ⅲ)證明：若a₁＝2，d_n＝1(n＝1，2，3…)，則{a_n}的項只能是1或2，且有無窮多項為1．