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已知各項均為非負整數的數列A₀∶a₀，a₁，…，a_n(n∈N^*)，滿足a₀＝0，a₁＋…＋a_n＝n．若存在最小的正整數k，使得a_k＝k(k≥1)，則可定義變換T，變換T將數列A₀變為數列T(A₀)∶a₀＋1，a₁＋1，…，a_k－1＋1，0，a_k+1，…，a_n．設A_i+1＝T(A_i)，i＝0，1，2…．

(Ⅰ)若數列A₀∶0，1，1，3，0，0，試寫出數列A₅；若數列A₄∶4，0，0，0，0，試寫出數列A₀；

(Ⅱ)證明存在唯一的數列A₀，經過有限次T變換，可將數列A₀變為數列；

(Ⅲ)若數列A₀，經過有限次T變換，可變為數列．設S_m＝a_m＋a_m+1＋…＋a_n，m＝1，2，…，n，求證a_m＝S_m－[](m＋1)，其中[]表示不超過的最大整數．

答案：

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•朝陽區一模）已知各項均為非負整數的數列A₀：a₀，a₁，…，a_n（n∈N^*），滿足a₀=0，a₁+…+a_n=n．若存在最小的正整數k，使得a_k=k（k≥1），則可定義變換T，變換T將數列A₀變為T（A₀）：a₀+1，a₁+1，…，a_k-1+1，0，a_k+1，…，a_n．設A_i+1=T（A_i），i=0，1，2…．
（Ⅰ）若數列A₀：0，1，1，3，0，0，試寫出數列A₅；若數列A₄：4，0，0，0，0，試寫出數列A₀；
（Ⅱ）證明存在數列A₀，經過有限次T變換，可將數列A₀變為數列n，

0，0，…，0

n個

；
（Ⅲ）若數列A₀經過有限次T變換，可變為數列n，

0，0，…，0

n個

．設S_m=a_m+a_m+1+…+a_n，m=1，2，…，n，求證am=Sm-[

m+1

](m+1)，其中[

m+1

]表示不超過

m+1

的最大整數．

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年北京市朝陽區高三3月第一次綜合練習理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知各項均為非負整數的數列，滿足，．若存在最小的正整數，使得，則可定義變換，變換將數列變為數列．設，．

（Ⅰ）若數列，試寫出數列；若數列，試寫出數列；

（Ⅱ）證明存在唯一的數列，經過有限次變換，可將數列變為數列；

（Ⅲ）若數列，經過有限次變換，可變為數列．設，，求證，其中表示不超過的最大整數．

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科目：高中數學 來源：2012年北京市朝陽區高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知各項均為非負整數的數列A：a，a₁，…，a_n（n∈N^*），滿足a=0，a₁+…+a_n=n．若存在最小的正整數k，使得a_k=k（k≥1），則可定義變換T，變換T將數列A變為T（A）：a+1，a₁+1，…，a_k-1+1，0，a_k+1，…，a_n．設A_i+1=T（A_i），i=0，1，2…．
（Ⅰ）若數列A：0，1，1，3，0，0，試寫出數列A₅；若數列A₄：4，0，0，0，0，試寫出數列A；
（Ⅱ）證明存在數列A，經過有限次T變換，可將數列A變為數列