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講完“有理數的除法”后，老師在課堂上出了一道計算題：15

1

3

÷（-8），不一會兒，不少同學算出了答案，老師把班上同學的解題過程歸類寫到黑板上．
方法一：原式=

46

3

×（-

1

8

）=-

46

24

=-

23

12

=-1

11

12

；
方法二：原式=（15+

1

3

）×（-

1

8

）=15×（-

1

8

）+

1

3

×（-

1

8

）=-

15×3+1

24

=-1

11

12

；
方法三：原式=（16-

2

3

）÷（-8）=16÷（-8）-

2

3

÷（-8）=-2+

1

12

=-1

11

12

．
對這三種方法，大家議論紛紛，你認為哪種方法最好？說出理由，并說說本題對你有何啟發．

先閱讀，再解答下列問題．
已知（a²+b²）⁴-8（a²+b²）²+16=0，求a²+b²的值．
錯解：設（a²+b²）²=m，則原式可化為m²-8m+16=0，即（m-4）²=0，解得m=4．由（a²+b²）²=4，得a²+b²=±2．
（1）上述解答過程出錯在哪里？為什么？
（2）請你用以上方法分解因式：（a+b）²-14（a+b）+49．

閱讀理解題：
（1）觀察各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
（2）請利用上述規律計算（要求寫出計算過程）：

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

解：原式=
（3）請利用上述規律，解方程：

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

解：原方程可變形如下：

下面是某同學對多項式（x²-4x+2）（x²-4x+6）+4進行因式分解的過程．
解：設x²-4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y²+8y+16 （第二步）
=（y+4）²（第三步）
=（x²-4x+4）²（第四步）
（1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．兩數和的完全平方公式
D．兩數差的完全平方公式
（2）該同學因式分解的結果是否徹底？．（填“徹底”或“不徹底”）若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果．
（3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x²-2x）（x²-2x+2）+1進行因式分解．

閱讀理解：
計算(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

)×(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

)-(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

)×(

1

2

+

1

3

+

1

4

)時，若把(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

)與（

1

2

+

1

3

+

1

4

)分別各看著一個整體，再利用分配律進行運算，可以大大簡化難度．過程如下：
解：設(

1

2

+

1

3

+

1

4

)為A，(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

)為B，
則原式=B（1+A）-A（1+B）=B+AB-A-AB=B-A=

1

5

．請用上面方法計算：
①(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

)(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

)-(1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

+

1

7

)(

1

2

+

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

)
②(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n

)(

1

2

+

1

3

…+

1

n+1

)-(1+

1

2

+

1

3

…+

1

n+1

)(

1

2

+

1

3

…+

1

n

)．