Question

先閱讀，再解答下列問題．
已知（a²+b²）⁴-8（a²+b²）²+16=0，求a²+b²的值．
錯解：設（a²+b²）²=m，則原式可化為m²-8m+16=0，即（m-4）²=0，解得m=4．由（a²+b²）²=4，得a²+b²=±2．
（1）上述解答過程出錯在哪里？為什么？
（2）請你用以上方法分解因式：（a+b）²-14（a+b）+49．

Answer 1

分析：（1）設m的值時，要注意m是非負數；
（2）設（a²+b²）²=m，則原式可化為m²-14m+49，即（m-7）²．

解答：解：（1）錯誤是：設（a²+b²）²=m，m≥0．所以由（m-4）²=0，解得m=4．由（a²+b²）²=4，得a²+b²=2；

（2）設（a+b）=m（m≥0）．則原式可化為m²-14m+49，即（m-7）²．
∴（a+b）²-14（a+b）+49=（a+b-7）²．

點評：本題考查了配方法和換元法解一元二次方程．注意利用換元法解方程時，需要注意m的取值范圍．