題目列表(包括答案和解析)
我們知道，經過原點的拋物線的解析式可以是y＝ax2＋bx(a≠0)
(1)對于這樣的拋物線：當頂點坐標為(1，1)時，a＝________；當頂點坐標為(m，m)，m≠0時，a與m之間的關系式是________．
(2)繼續探究，如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線y＝kx(k≠0)上，請用含k的代數式表示b；
(3)現有一組過原點的拋物線，頂點A1，A2，…，An在直線y＝x上，橫坐標依次為1，2，…，n(為正整數，且n≤12)，分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1，B2，…，Bn，以線段AnBn為邊向右作正方形AnBnCnDn，若這組拋物線中有一條經過Dn，求所有滿足條件的正方形邊長．
在解題目：“當x＝1949時，求代數式
的值”時，聰聰認為x只要任取一個使原式有意義的值代入都有相同結果．你認為他說的有理嗎？請說明理由．
如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點為A(4，4)，且拋物線經過原點，和x軸相交于另一點B，以AB為一邊在直線AB的右側畫正方形ABCD．
(1)求拋物線的解析式和點C、D的坐標．
(2)能否將此拋物線沿著直線x＝4平移，使平移后的拋物線恰好經過正方形ABCD的另兩個頂點C、D？若能，寫出平移后拋物線的解析式，若不能，請說明理由．
(3)若以點A(4，4)為圓心，r為半徑畫圓，請你探究：
①當r＝________時，⊙A上有且只有一個點到直線BD的距離等于2；
②當r＝________時，⊙A上有且只有三個點到直線BD的距離等于2；
③隨著的變化，⊙A上到直線BD的距離等于2的點的個數也隨著變化，請根據⊙A上到直線BD的距離等于2的點的個數，討論相應的r的值或取值范圍．
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當y＝1時，x2–1＝1，x2＝2，∴x＝±
．
當y＝4時，x2–1 ＝4，x2＝5，∴x＝±
．
∴原方程的解為x1＝–
，x2＝
，x3＝–
，x4＝
．
以上方法就叫換元法，達到了降次的目的，體現了轉化的思想．
（1）運用上述方法解方程：x4–3x2–4＝0．
（2）既然可以將x2–1看作一個整體，你能直接運用因式分解法解這個方程嗎？
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，則原方程可以化為y2－5y＋6＝0．