Question

如圖，拋物線y＝ax²＋bx＋c的頂點為A(4，4)，且拋物線經過原點，和x軸相交于另一點B，以AB為一邊在直線AB的右側畫正方形ABCD．

(1)求拋物線的解析式和點C、D的坐標．

(2)能否將此拋物線沿著直線x＝4平移，使平移后的拋物線恰好經過正方形ABCD的另兩個頂點C、D？若能，寫出平移后拋物線的解析式，若不能，請說明理由．

(3)若以點A(4，4)為圓心，r為半徑畫圓，請你探究：

①當r＝________時，⊙A上有且只有一個點到直線BD的距離等于2；

②當r＝________時，⊙A上有且只有三個點到直線BD的距離等于2；

③隨著的變化，⊙A上到直線BD的距離等于2的點的個數也隨著變化，請根據⊙A上到直線BD的距離等于2的點的個數，討論相應的r的值或取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設二次函數解析式是y＝a(x－4)2＋4，把(0，0)代入得 　　16a＋4＝0，解得a＝－， 　　∴二次函數解析式為y＝－(x－4)2＋4，令y＝0得 　　(x－4)2－4＝0解得x1＝0，x2＝8． 　　∴OB＝8，AB＝4，∠ABO＝45°． 　　∵四邊形ABCD是正方形， 　　∴∠ABC＝90°，BC＝AB＝4， 　　∴∠CBx＝45°，∴C(12，4)，∴D(8，8)． 　　(2)設平移后的解析式為y＝－(x－4)2＋4＋k，把C(12，4) 　　代入并解得k＝16， 　　∴平移后二次函數的解析式是y＝－(x－4)2＋4＋16， 　　當x＝8時，y＝16∴點D(8，8)不在此二次函數的圖象上，∴不能將二次函數圖象沿直線x＝4平移后同時經過點C，D． 　　(同樣，若把點D(8，8)代入平移后的解析式，解得k＝8，則點C(12，4)不在……)． 　　(3)①r＝2，②r＝6，③當0＜r＜2時，圓上不存在點到BD的距離為2； 　　當r＝2時，圓上有1個點到BD的距離為2； 　　當2＜r＜6時，圓上有2個點到BD的距離為2； 　　當r＝6時，圓上有3個點到BD的距離為2； 　　當r＞6時，圓上有4個點到BD的距離為2．