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正方體中，為的中點.
（1）請在線段上確定一點F使四點共面，并加以證明；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）點M在面內，且點M在平面上的射影恰為的重心，求異面直線與所成角的余弦值.

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如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AA₁=2a，M、N分別是棱BB₁，DD₁的中點．
①求異面直線A₁M與B₁C所成的角的余弦值；
②若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V，三棱錐N-A₁B₁C₁的體積為V₁，求

V1

V

的值．
③求平面A₁MC₁與平面B₁NC₁所成的二面角的大小．

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一、DDBCD  CABCA

二、11．1；       12．；     13．           14．；    15．；

16．

三．解答題（本大題共6小題，共76分）

17．解：（1）法一：由題可得；

法二：由題，

故，從而；

法三：由題，解得，

故，從而。

（2），令，

則，

在單調遞減，

故，

從而的值域為。

18．解：（1）的可能取值為0,1,2,3,4，，

，

，，。

因此隨機變量的分布列為下表所示；

0

1

2

3

4

（2）由⑴得：，

19．法一：（1）連接，設，則。

因為，所以，故，從而，

故。

又因為，

所以，當且僅當取等號。

此時為邊的中點，為邊的中點。

故當為邊的中點時，的長度最小，其值為

（2）連接，因為此時分別為的中點，

故，所以均為直角三角形，

從而，所以即為直線與平面所成的角。

因為，所以即為所求；

（3）因，又，所以。

又，故三棱錐的表面積為

。

因為三棱錐的體積，

所以。

法二：（1）因，故。

設，則。

所以，

當且僅當取等號。此時為邊的中點。

故當為的中點時，的長度最小，其值為；

（2）因，又，所以。

記點到平面的距離為，

因，故，解得。

因，故；

（3）同“法一”。

法三：（1）如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設，則，

所以，當且僅當取等號。

此時為邊的中點，為邊的中點。

故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；

（2）設為面的法向量，因，

故。取，得。

又因，故。

因此，從而，

所以；

（3）由題意可設為三棱錐的內切球球心，

則，可得。

與（2）同法可得平面的一個法向量，

又，故，

解得。顯然，故。

20．解：（1）當時，。令得，

故當 時，單調遞增；

當時，單調遞減。

所以函數的單調遞增區間為，

單調遞減區間為；

（2）法一：因，故。

令，

要使對滿足的一切成立，則，

解得；

法二：，故。

由可解得。

因為在單調遞減，因此在單調遞增，故。設，

則，因為，

所以，從而在單調遞減，

故。因此，即。

（3）因為，所以

即對一切恒成立。

，令，

則。因為，所以，

故在單調遞增，有。

因此，從而。

所以。

21．解：（1）設，則由題，

由得，故。

又根據可得，

即，代入可得，

解得（舍負）。故的方程為；

（2）法一：設，代入得，

故，

從而

因此。

法二：顯然點是拋物線的焦點，點是其準線上一點。

設為的中點，過分別作的垂線，垂足分別為，

則。

因此以為直徑的圓與準線相切（于點）。

若與重合，則。否則點在外，因此。

綜上知。

22．證明：（1）因，故。

顯然，因此數列是以為首項，以2為公比的等比數列；

（2）由⑴知，解得；

（3）因為

所以。

又（當且僅當時取等號），

故。

綜上可得。（亦可用數學歸納法）