Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=a，AA₁=2a，M、N分別是棱BB₁，DD₁的中點．
①求異面直線A₁M與B₁C所成的角的余弦值；
②若正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V，三棱錐N-A₁B₁C₁的體積為V₁，求的值．
③求平面A₁MC₁與平面B₁NC₁所成的二面角的大小．

Answer 1

解：①∵A₁D∥B₁C
∴∠MA₁D是異面直線A₁M與B₁C所成的角（或補角）
，

=
=
所以異面直線A₁M與B₁C所成的角余弦值為
②V=2a³，
，

③取AA₁中點P，連接B₁P、NP、MP，則四邊形B₁MPA₁為正方形．
∵A₁M⊥B₁P，且B₁C₁⊥平面A₁B₁BA，
∴B₁C₁⊥A₁M，即A₁M⊥B₁C₁，
∴A₁M⊥平面B₁PNC₁
即A₁M⊥平面B₁NC₁，
∵A₁M?平面A₁MC₁，
所以，平面A₁MC₁⊥平面B₁NC．
故平面A₁MC₁與平面B₁NC₁所成二面角大小為90°．
分析：①先將B₁C平移到A₁D，根據異面直線所成角的定義可知∠MA₁D是異面直線A₁M與B₁C所成的角（或補角），然后利用余弦定理求出此角的余弦值即可；
②先利用正棱柱的體積公式求出正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積為V，然后利用三棱錐的體積公式求出三棱錐N-A₁B₁C₁的體積，即可求出所求；
③取AA₁中點P，連接B₁P、NP、MP，則四邊形B₁MPA₁為正方形，根據A₁M⊥B₁P，A₁M⊥B₁C₁，滿足線面垂直的判定定理可知A₁M⊥平面B₁NC₁，而A₁M?平面A₁MC₁，滿足面面垂直的判定定理可知平面A₁MC₁⊥平面B₁NC，從而求出平面A₁MC₁與平面B₁NC₁所成二面角大小．
點評：本題主要考查了異面直線所成角的度量，以及體積的求解和面面垂直的判定，同時考查了計算能力和推理能力，屬于中檔題．