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數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n與a_n之間滿足a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）．
（1）求證：數列{

1

Sn

}的通項公式；
（2）設存在正數k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）≥k

2n+1

對一切n∈N^×都成立，求k的最大值．

數列{b_n}的首項b₁=1，前n項和為S_n，點（n，S_n）、（4，10）都在二次函數y=ax²+bx的圖象上，數列{a_n}滿足

bn

an

=2ⁿ．
（Ⅰ）求證：數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=（1-

1

n+1

）

1

an

，R_n=

1

c1

+

1

c2

+

1

c3

+…+

1

cn

．試比較R_n與

5n

2n+1

的大小，并證明你的結論．

數列{a_n}的前n項和為S_n=n²+n；數列{b_n}中，b₁=1，且對任意n∈N*，bn+1-

1

2

bn=0，
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

an，n為奇數 bn，n為偶數

，數列{c_n}的前n項和為T_n，求T₂₀．

數列{a_n}的前n項的和為S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）證明：{

an

3n

-2}為等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）試比較

Sn

3n

與

6n

2n+1

的大小，并加以證明．

數列{a_n}的前n項和記為S_n，前kn項和記為S_kn（n，k∈N^*），對給定的常數k，若

S(k+1)n

Skn

是與n無關的非零常數t=f（k），則稱該數列{a_n}是“k類和科比數列”．
（1）已知Sn=

4

3

an-

2

3

(n∈N*)，求數列{a_n}的通項公式；
（2）在（1）的條件下，數列an=2cn，求證數列c_n是一個“1 類和科比數列”（4分）；
（3）設等差數列{b_n}是一個“k類和科比數列”，其中首項b₁，公差D，探究b₁與D的數量關系，并寫出相應的常數t=f（k）．