Question

數列{a_n}的前n項和為S_n=n²+n；數列{b_n}中，b₁=1，且對任意n∈N*，bn+1-

1

2

bn=0，
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）設cn=

an，n為奇數 bn，n為偶數

，數列{c_n}的前n項和為T_n，求T₂₀．

Answer 1

分析：（1）由數列{a_n}的前n項和為S_n，利用a_n=s_n-s_n-1，n≥2，可求得a_n，通過數列{b_n}的遞推式，利用定義判斷其為等比數列，然后利用等比數列的通項公式即可求出b_n．
（2）由（1）可知{c_n}的通項，然后利用分組求和求出T₂₀．

解答：解：（1）當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n
綜上，a_n=2n（n∈N^*）．
又bn+1=

1

2

bn，b1=1，
∴{b_n}是以1為首項，

1

2

為公比的等比數列，
∴bn=(

1

2

)n-1(n∈N*)．
（2）由（1）知，an=

2n，n為奇數 ( 1 2 )n-1 n為偶數

，
∴T20=2+

1

2

+6+(

1

2

)3+…+38+(

1

2

)19=(2+6+…+38)+[

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)19]
=

(2+38)×10

2

+

1 2 [1-( 1 4 )10]

1- 1 4

=200+

2

3

[1-(

1

4

)10]．

點評：本題是個難題，主要考查了利用數列的遞推式求數列的通項公式和數列求和的方法，注意由S_n求a_n時，a_n=s_n-s_n-1，n≥2的條件．