Question

（2012•商丘二模）數列{a_n}的前n項和為S_n，若數列{a_n}的各項按如下規律排列：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

…，

1

n

，

2

n

，…，

n-1

n

，…有如下運算和結論：
①a₂₄=

3

8

；
②數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等比數列；
③數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…的前n項和為T_n=

n2+n

4

；
④若存在正整數k，使S_k＜10，S_k+1≥10，則a_k=

5

7

．
其中正確的結論是

①③④

．（將你認為正確的結論序號都填上）

Answer 1

分析：①前24項構成的數列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

，

2

6

，…，

1

8

，

2

8

，

3

8

，故a₂₄=

3

8

；
②數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

，由等差數列定義知：數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差數列；
③數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差數列，所以由等差數列前n項和公式可知：Tn=

n2+n

4

；
④由③知S_k＜10，S_k+1≥10，即：

n2+n

4

＜10，

(n+1)2+(n+1)

4

≥10，故a_k=

5

7

．

解答：解：①前24項構成的數列是：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，

1

6

，

2

6

，…，

1

8

，

2

8

，

3

8

，
∴a₂₄=

3

8

，故①正確；
②數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是

1

2

，1，

6

4

，2，…

n-1

2

，
由等差數列定義

n-1

2

-

n-2

2

=

1

2

（常數）
所以數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差數列，故②不正確．
③∵數列a₁，a₂+a₃，a₄+a₅+a₆，a₇+a₈+a₉+a₁₀，…是等差數列，
所以由等差數列前n項和公式可知：Tn=

n2+n

4

，故③正確；
④由③知S_k＜10，S_k+1≥10，
即：

n2+n

4

＜10，

(n+1)2+(n+1)

4

≥10，∴k=7，a_k=

5

7

．故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題主要考查探究數列的規律，轉化數列，構造數列來研究相應數列通項和前n項和問題，這種題難度較大，必須從具體到一般地靜心研究，再推廣到一般得到結論．