Question

（2012•商丘二模）如圖，AA₁、BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D、E分別是AA₁、CB₁的中點，DE⊥面CBB₁
（Ⅰ）證明：DE∥面ABC；
（Ⅱ）若BB₁=BC，求CA₁與面BB₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要證DE∥面ABC，可已由DE∥OA證得，而DE∥OA通過證明四邊形AOED是平行四邊形得出．
（2）作過C的母線CC₁，連接B₁C₁，連接CO₁，則∠A₁CO₁為CA₁與面BB₁C所成角，在RT△A₁O₁C中求解．

解答：（1）證明：連接EO，OA．

∵E，O分別是CB₁、BC的中點，∴EO∥BB₁，又DA∥BB₁，且DA=EO=

1

2

BB₁，
∴四邊形AOED是平行四邊形，即DE∥OA，DE?面ABC，
∴DE∥面ABC．
（2）解：作過C的母線CC₁，連接B₁C₁，則B₁C₁是上底面的直徑，

連接A₁O₁，得A₁O₁∥AO，又AO⊥面CBB₁C₁，所以，A₁O₁⊥面CBB₁C₁，連接CO₁，則∠A₁CO₁為CA₁與面BB₁C所成角，
設(shè)BB₁=BC=2，則A1C=

22+( 2 )2

=

6

，A₁O₁=1，
在RT△A₁O₁C中，sin∠A₁CO₁=

A1O1

A1C

=

6

6

點評：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判定，線面角求解．考查空間想象能力、推理論證、轉(zhuǎn)化計算能力．