Question

數列{a_n}的首項a₁=1，前n項和S_n與a_n之間滿足a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）．
（1）求證：數列{

1

Sn

}的通項公式；
（2）設存在正數k，使（1+S₁）（1+S₂）..（1+S_n）≥k

2n+1

對一切n∈N^×都成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（1）由數列的性質a_n=S_n-S_n-1及a_n=

2 S 2 n

2Sn-1

（n≥2）得到關系S_n-S_n-1=

2S 2 n

2Sn-1

，對其進行變形整理出可以判斷數列為等差數列的形式即可．
（2）欲證明不等式一切n∈N^×都成立須證明

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

的單調性，求出其最值由（1）知，此式中的各個因子符號為正，故研究其單調性可以借助作商法來研究，故先構造函數，F(xiàn)（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，然后再令[F（n）]_min≥k即可．

解答：解：（1）證明：∵n≥2時，a_n=S_n-S_n-1（1分）
∴S_n-S_n-1=

2S 2 n

2Sn-1

，∴（S_n-S_n-1）（2S_n-1）=2S_n²，
∴=S_n-1-S_n=2S_nS_n-1（3分）
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2（n≥2），（5分）
數列{

1

Sn

}是以

1

S1

=1為首項，以2為公差的等差數列．（6分）
（2）由（1）知

1

Sn

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴Sn=

1

2n-1

，∴Sn+1=

1

2n+1

（7分）
設F（n）=

(1+S1)(1+S2)…(1+Sn)

2n+1

，
則

F(n+1)

F(n)

=

(1+Sn+1) 2n+1

2n+3

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

4n2+8n+4 4n2+8n+3

＞1（10分）
∴F（n）在n∈N^*上遞增，要使F（n）≥k恒成立，只需[F（n）]_min≥k
∵[F（n）]_min=F（1）=

2

3

3

，∴0＜k≤

2

3

3

，k_max=

2

3

3

．（12分）

點評：本小題考查等差數列通項與前n項和關系以及數列與不等式相結合的有關問題．本題技巧性強，（1）中的變形證明及（2）中的轉化為函數來判斷單調性都需要較高的知識組合能力及較高的觀察能力．