Question

數列{a_n}的前n項的和為S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹．
（Ⅰ）證明：{

an

3n

-2}為等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）試比較

Sn

3n

與

6n

2n+1

的大小，并加以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據a_n-1=S_n+1-S_n+1求得a_n+1與a_n的關系式，進而代入

an+1

3n+1

中，求得

an+1

3n+1

-2=

1

2

(

an

3n

-2)進而證明{

an

3n

-2}為等比數列，公比為

1

2

，首項為-2，進而求得{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的a_n可求得S_n的表達式，再讓

Sn

3n

-

6n

2n+1

化簡得3

2n-(2n+1)

(2n+1)2n

所以只要比較2ⁿ與2n+1的大小即可．

解答：解：（1）由S_n=3a_n-3ⁿ⁺¹得S_n+1=3a_n+1-3ⁿ⁺²，相減得：an+1=

3

2

an+3n+1，
故

an+1

3n+1

=

an

2×3n

+1，
∴

an+1

3n+1

-2=

1

2

(

an

3n

-2)，
即{

an

3n

-2}是以

a1

3

-2為首項，以

1

2

為公比的等比數列
由已知得：a1=

9

2

，∴

a1

3

-2=-

1

2

，故

an

3n

-2=-

1

2

(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
所以an=[2-(

1

2

)n]×3n=2×3n-(

3

2

)n（8分）
（2）Sn=3n+1[1-(

1

2

)n]，故只要比較3[1-(

1

2

)n]與

6n

2n+1

的大小，
∵3[1-(

1

2

)n]-

6n

2n+1

=3

2n-(2n+1)

(2n+1)2n

，
所以只要比較2ⁿ與2n+1的大小，
當n=1，2時，2ⁿ＜2n+1；
當n≥3時，2ⁿ=C_n⁰+C_n¹++C_n^n-1+C_nⁿ＞C_n⁰+C_n¹+C_n^n-1=2n+1
所以當n=1，2時

Sn

3n

＜

6n

2n+1

，當n≥3時，

Sn

3n

＞

6n

2n+1

．

點評：本題主要考查數列中等比關系的確定．解題的關鍵是求出每一項與它的前一項的比等于同一個常數．