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例1 求下列函數(shù)的周期: (1)y＝3cosx.x∈R, (2)y＝sin2x.x∈R, (3)y＝2sin(x-).x∈R 解:(1)∵y＝cosx的周期是2π ∴只有x增到x+2π時(shí).函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn) ∴y＝3cosx.x∈R的周期是2π (2)令Z＝2x.那么x∈R必須并且只需Z∈R.且函數(shù)y＝sinZ.Z∈R的周期是2π 即Z+2π＝2x+2π＝2(x+π)．只有當(dāng)x至少增加到x+π.函數(shù)值才能重復(fù)出現(xiàn) ∴y＝sin2x的周期是π (3)令Z＝x-.那么x∈R必須并且只需Z∈R.且函數(shù)y＝2sinZ.Z∈R的周期是2π.由于Z+2π＝(x-)+2π＝ (x+4π)-.所以只有自變量x至少要增加到x+4π.函數(shù)值才能重復(fù)取得.即T＝4π是能使等式2sin［ (x+T)-］＝2sin(x-)成立的最小正數(shù) 從而y＝2sin(x-).x∈R的周期是4π 從上述可看出.這些函數(shù)的周期僅與自變量x的系數(shù)有關(guān) 一般地.函數(shù)y＝Asin(ωx+).x∈R及函數(shù)y＝Acos(ωx+).x∈R(其中A.ω.為常數(shù).且A≠0.ω＞0)的周期T＝根據(jù)這個(gè)結(jié)論.我們可以由這類函數(shù)的解析式直接寫(xiě)出函數(shù)的周期.如對(duì)于上述例子: (1)T＝2π.(2)T＝＝π.(3)T＝2π÷＝4π 例2不通過(guò)求值.指出下列各式大于0還是小于0 (1)sin(-)-sin(-), (2)cos(-)-cos(-)．解:(1)∵-＜-＜-＜．且函數(shù)y＝sinx.x∈［-.］是增函數(shù) ∴sin(-)＜sin(-) 即sin(-)-sin(-)＞0 (2)cos(-)＝cos＝cos cos(-)＝cos＝cos ∵0＜＜＜π 且函數(shù)y＝cosx.x∈［0.π］是減函數(shù) ∴cos＜cos 即cos-cos＜0 ∴cos(-)-cos(-)＜0 例3 求函數(shù)y＝的值域解:由已知:cosx＝||＝|cosx|≤1()2≤13y2+2y-8≤0 ∴-2≤y≤ ∴ymax＝.ymin＝-2 例4f(x)＝sinx圖象的對(duì)稱軸是解:由圖象可知: 對(duì)稱軸方程是:x＝kπ+(k∈Z) 例5(1)函數(shù)y＝sin(x+)在什么區(qū)間上是增函數(shù)? (2)函數(shù)y＝3sin(-2x)在什么區(qū)間是減函數(shù)? 解:(1)函數(shù)y＝sinx在下列區(qū)間上是增函數(shù): 2kπ-＜x＜2kπ+ (k∈Z) ∴函數(shù)y＝sin(x+)為增函數(shù).當(dāng)且僅當(dāng)2kπ-＜x+＜2kπ+ 即2kπ-＜x＜2kπ+(k∈Z)為所求 (2)∵y＝3sin(-2x)＝-3sin(2x-) 由2kπ-≤2x-≤2kπ+ 得kπ-≤x≤kπ+ (k∈Z)為所求或:令u＝-2x.則u是x的減函數(shù) 又∵y＝sinu在［2kπ-.2kπ+］(k∈Z)上為增函數(shù). ∴原函數(shù)y＝3sin(-2x)在區(qū)間［2kπ-.2kπ+］上遞減設(shè)2kπ-≤-2x≤2kπ+ 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z) ∴原函數(shù)y＝3sin(-2x)在［kπ-.kπ+］(k∈Z)上單調(diào)遞減【查看更多】

題目列表(包括答案和解析)

(1)求下列函數(shù)的定義域和值域．

①；②．