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已知數列{an}滿足遞推關系式：an=

4an-1-2

an-1+1

(n≥2，n∈N)，首項為a1．
（1）若a₁＞a₂，求a₁的取值范圍；
（2）記b_n=

an-2

an-1

(n∈N*)，1＜a1＜2，求證：數列{bn}是等比數列；
（3）若a_n＞a_n+1（n∈N^*）恒成立，求a₁的取值范圍．

已知數列{a_n}滿足：a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），數列{b_n}滿足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），數列{b_n}的前n項和為S_n．
（1）求數列{a_n}的通項a_n．
（2）求證：數列{b_n-a_n}為等比數列．

已知數列{a_n}滿足a1=

1

4

，2an+an-1=(-1)nan•an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．
（1）求證：數列{

1

an

+(-1)n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設bn=an•sin

(2n-1)π

2

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：對任意的n∈N*，有Tn＜

2

3

成立．

已知數列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：當n≥2時，{a_n+2a_n-1}和{a_n-3a_n-1}均為等比數列；
（2）求證：當k為奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

；
（3）求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

（n∈N^*）．

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an 2 +n-1，n為奇數 an-2n     ，n為偶數

，記b_n=a_2n（n∈N*），S_n為數列{b_n}的前n項和．
（Ⅰ）證明數列{b_n}為等比數列，并求其通項公式；
（Ⅱ）若對任意n∈N*且n≥2，不等式λ≥1+s_n-1恒成立，求實數λ的取值范圍；
（Ⅲ）令c_n=

(n+1)( 5 11 )n

bn

，證明：c_n≤

1010

119

（n∈N*）．