Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，a_n+1=2a_n-a_n-1（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．
（2）求證：數(shù)列{b_n-a_n}為等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）2a_n=a_n+1+a_n-1，根據(jù)等差數(shù)列的定義可知∴{a_n}是等差數(shù)列．根據(jù)a₁和a₂，求得公差，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n可得．
（2）把a(bǔ)_n和b_n代入b_n+1-a_n+1進(jìn)而化簡(jiǎn)整理b_n+1-a_n+1=

1

3

（b_n-a_n），進(jìn)而可判斷∴{b_n-a_n}是以b₁-

1

4

為首項(xiàng)，以

1

3

為公比的等比數(shù)列．

解答：解：（1）證明∵2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=a_n-a_n-1
∴{a_n}是等差數(shù)列．
又∵a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，∴a_n=

1

4

+（n-1）•

1

2

=

2n-1

4

，
（2）證明：∵b_n=

1

3

b_n-1+

n

3

（n≥2，n∈N^*），
∴b_n+1-a_n+1=

1

3

b_n+

n+1

3

-

2n+1

4

=

1

3

b_n-

2n-1

12

=

1

3

（b_n-

2n-1

4

）=

1

3

（b_n-a_n）．
又∵b₁-a₁=b₁-

1

4

≠0，
∴{b_n-a_n}是以b₁-

1

4

為首項(xiàng)，以

1

3

為公比的等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比關(guān)系的確定．考查了學(xué)生綜合把握數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)．