Question

已知數列{a_n}滿足a1=

1

4

，2an+an-1=(-1)nan•an-1(n≥2，n∈N*)，an≠0．
（1）求證：數列{

1

an

+(-1)n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）設bn=an•sin

(2n-1)π

2

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：對任意的n∈N*，有Tn＜

2

3

成立．

Answer 1

分析：（1）根據等比數列的定義，要證明數列{

1

an

+(-1)n}是等比數列，只需證明[

1

an

+(-1)n]：[

1

an-1

+(-1)n-1]=常數，將題設中給出的遞推式變形整理即可．
（2）利用sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1，結合（1）中的結論，表示出bn，進而寫出T_n，再利用放縮法求解即可．

解答：解：（1）由2a_n+a_n-1=（-1）ⁿa_n•a_n-1
得

1

an

=(-1)n-

2

an-1

(n≥2，n∈N*)
∴

1

an

+(-1)n=(-2)•[

1

an-1

+(-1)n-1]
又∵

1

a1

+(-1)=3
∴數列[

1

an

+(-1)n]是首項為3，公比為-2的等比數列，
從而

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1
即an=

1

3(-2)n-1-(-1)n

；
（2）∵sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1
∴bn=

(-1)n-1

3•(-2)n-1-(-1)n

=

1

3•2n-1+1

則Tn=

1

3+1

+

1

3×2+1

+…+

1

3×2n-1+1

＜

1

3

+

1

3×2

+

1

3×22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

1

3

(1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)
=

1

3

×

1- 1 2n

1- 1 2

=

2

3

×(1-

1

2n

)＜

2

3

．

點評：（1）本題緊扣等比數列的定義而解，注意對已知遞推式的變形；
（2）主要考查了數列知識和解不等式的綜合運用，注意放縮法的使用．