Question

已知數列{a_n}滿足a₁=5，a₂=5，a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）求證：當n≥2時，{a_n+2a_n-1}和{a_n-3a_n-1}均為等比數列；
（2）求證：當k為奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

；
（3）求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1=a_n+6a_n-1得a_n+1-3a_n=-2（a_n-3a_n-1），a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1），進而判斷出當n≥2時，{a_n+2a_n-1}是首項為15公比為3的等比數列，{a_n-3a_n-1}是首項為-10，公比為-2的等比數列．
（2）利用（1）中求得的a_n+2a_n-1和a_n+1-3a_n，兩式相減求得a_n，進而求得當k為奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

-

4

3k+1

=

4k•[8-7•( 3 2 )k]

3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)

＜0原式得證．
（3）利用（2）中的結論，進而可知當n為偶數時，求得

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

，n為奇數時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

(1-

1

3n+1

)＜

1

2

，綜合原式可證．

解答：解：（1）由a_n+1=a_n+6a_n-1（n≥2，n∈N^*）得：
a_n+1+2a_n=3（a_n+2a_n-1），a_n+1-3a_n=-2（a_n-3a_n-1）
且a₂+2a₁=15，a₂-3a₁=-10．
∴當n≥2時，{a_n+2a_n-1}是首項為15公比為3的等比數列，
{a_n-3a_n-1}是首項為-10，公比為-2的等比數列．
（2）由（1）得a_n+1+2a_n=15×3^n-1，a_n+1-3a_n=-10×（-2）^n-1
以上兩式相減得a_n=3ⁿ-（-2）ⁿ．
當k為奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

-

4

3k+1

=

1

3k+2k

+

1

3k+1-2k+1

-

4

3k+1

=

-7×6k+8×4k

3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)

=

4k•[8-7•( 3 2 )k]

3k+1•(3k+2k)•(3k+1-2k+1)

＜0，
∴

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

．
（3）由（2）知，當k為奇數時，

1

ak

+

1

ak+1

＜

4

3k+1

=

1

3k

+

1

3k+1

；
∴當n為偶數時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

當n為奇數時，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

1

2

(1-

1

3n+1

)＜

1

2

點評：本題主要考查了等比關系的確定，不等式的證明．考查了學生的邏輯思維能力和推理能力．