已知函數

求：（1）函數的定義域和單調區間；

（2）判斷函數的奇偶性；

（3）判斷函數的周期性，如果是周期函數，求出它的最小正周期。

由已知得,,,

,,

,,,

所以函數f(x)的值以6為周期重復性出現.,所以f（2009）= f（5）=1,故選C.

答案:C.

【命題立意】:本題考查歸納推理以及函數的周期性和對數的運算.

函數的定義域為，且滿足對于任意，有．

⑴求的值；

⑵判斷的奇偶性并證明；

⑶如果≤，且在上是增函數，求的取值范圍．

【解析】（Ⅰ） 通過賦值法，，求出f（1）0；

（Ⅱ） 說明函數f（x）的奇偶性，通過令，得．令，得,推出對于任意的x∈R，恒有f（-x）=f（x），f（x）為偶函數．

（Ⅲ） 推出函數的周期，根據函數在[-2，2]的圖象以及函數的周期性，即可求滿足f(2x-1)≥12的實數x的集合．

已知函數f（x）對一切實數x都有f（2+x）=f（2-x），f（3+x）=f（3-x），試判斷函數的周期性和奇偶性．