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已知函數f（x）對一切實數x都有f（2+x）=f（2-x），f（3+x）=f（3-x），試判斷函數的周期性和奇偶性．
分析：利用特值得到x=1，3，5…時，函數值相等得到函數的周期，利用函數的周期得到f（x）=f（-x）得到函數為偶函數．
解答：解：根據f（2+x）=f（2-x），f（3+x）=f（3-x）
，令x=1得到f（1）=f（3），f（2）=f（4）；
令x=2得到f（1）=f（5），f（0）=f（4），可得函數的周期為2；
因為函數的周期為2，則f（x+2）=f（x），f（2-x）=f（-x）即f（x）=f（-x），
故函數為偶函數．
點評：考查學生找函數周期的能力，以及判斷函數奇偶性的能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•青島一模）已知函數f（x）對定義域R內的任意x都有f（x）=f（4-x），且當x≠2時其導函數f′（x）滿足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4則（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•綿陽一模）已知函數f（x）定義在區間（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且當x，y∈（-1，1）時，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
）．又數列{an}滿足，a1=
1
2
，an+1=
2an
1+an2
．
（I ）證明：f（x）在（-1，1）上是奇函數
（ II ）求f（an）的表達式；
（III）設bn=
1
2log2|f(an+1)
，Tn為數列{bn}的前n項和，若T2n+1-Tn≤
m
15
（其中m∈N*）對N∈N*恒成立，求m的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•濱州一模）已知函數f（x）=
3
2
sin2x-cos2x-
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）設△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2
3
，f（C）=0，若向量
m
=（sinB，2）與向量
n
=（1，-sinA）垂直，求a，b的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•武清區一模）已知函數f（x）對任意的x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）f（y），且當x＞0時，0＜f（x）＜1，設M={y|f（y）f（1-2a）＞f（1）}，N={y|f（ax2+2x-y+3）=1，x∈R}，若M∩N=∅，則實數a的取值范圍是
1
2
≤a≤1
1
2
≤a≤1
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•內江一模）已知函數f（x）對任意的x∈R有f（x）+f（-x）=0，且當x＞0時，f（x）=ln（x+1），則函數f（x）的大致圖象為（　　）

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