Question

（2011•濱州一模）已知函數f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞減區間；
（Ⅱ）設△ABC的三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其中c=2

3

，f（C）=0，若向量

m

=（sinB，2）與向量

n

=（1，-sinA）垂直，求a，b的值．

Answer 1

分析：（I）根據二倍角公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（2x-

π

6

）-1，結合正弦函數的單調區間公式，即可得到函數f（x）的單調遞減區間；
（II）根據（I）的解析式，結合三角形內角的取值范圍解f（C）=0得C=

π

3

，由向量

m

⊥

n

解出sinB=2sinA，即b=2a，最后由由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，代入前面的數據即可解出a、b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1
=sin2xcos

π

6

-cos2xsin

π

6

-1=sin（2x-

π

6

）-1，…（4分）
令2kπ+

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，得kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

（k∈Z）
∴函數f（x）的單調遞減區間為[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）…（6分）
（Ⅱ）因為f（C）=sin（2C-

π

6

）-1=0，所以sin（2C-

π

6

）=1
又∵-

π

6

＜2C-

π

6

＜

11π

6

，∴2C-

π

6

=

π

2

，解之得C=

π

3

…（8分）
∵向量

m

=（sinB，2）與向量

n

=（1，-sinA）垂直，
∴sinB-2sinA=0，即sinB=2sinA…（9分）
根據正弦定理得b=2a，再由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
得12=a²+4a²-4a²cos

π

3

=3a²…（11分）
解之得a=2，所以b=2a=4．…（12分）

點評：本題給出三角函數表達式，求函數的單調區間，并依此求三角形ABC的邊長．著重考查了三角函數的圖象與性質、三角恒等變換和正余弦定理等知識，屬于中檔題．