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如圖，在直三棱柱中，D、E分別是BC和的中點，已知AB=AC=AA₁=4，ÐBAC=90°.

（1）求證：⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求三棱錐的體積.

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16、如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，E，F，G分別是AA₁，AC，BB₁的中點，且CG⊥C₁G．
（Ⅰ）求證：CG∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：平面BEF⊥平面A₁C₁G．

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如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面為直角三角形，∠ABC=90°，AC=6，BC=CC₁=

2

，P是BC₁上一動點，則CP+PA₁的最小值是

 

．

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如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，CC′=AC=BC=2，∠ACB=90°．
（1）如圖給出了該直三棱柱三視圖中的正視圖，請根據此畫出它的側視圖和俯視圖；
（2）若P是AA′的中點，求四棱錐B′-C′A′PC的體積；
（3）求A′B與平面CB′所成角的正切值．

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評分說明：

1.       第一題選擇題，選對得分，不選、錯選或多選一律得0分.

2.       第二題填空題，不給中間分.

3.       解答與證明題，本答案給出了一種或幾種解法供參考.如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分參考制定相應的評分細則.

4.       對計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后續部分的給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.

5.       解答右側所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.

6.       只給整數分數.

一、選擇題

題號

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

答案

C

B

B

D

A

A

C

B

A

C

D

B

二、填空題

題號

(13)

(14)

(15)

(16)

答案

25

-30

三、解答題

（17）解：（Ⅰ）∵//  ∴………………………1分

              ∴.  即. …………………………3分

              又∵為銳角，∴.  …………………………………………4分

              ∴，∴. …………………………………………………5分

         （Ⅱ）由余弦定理有，解得或

               . ………………………………………………………………………8分

               當時，；當時，

                                              ……………………………………10分

（18）解：（Ⅰ）∵隨意抽取4件產品檢查是隨機事件，而第一天有9件正品.

               ∴第一天通過檢查的概率為. ……………………………5分

         （Ⅱ）同（Ⅰ），第二天通過檢查的概率為. …………………9分

               因第一、第二天是否通過檢查相互獨立， ……………………………10分

               所以，兩天全部通過檢查的概率為. …………12分

（19）解：（Ⅰ）∵為常數，∴. ………………2分

               ∴.

               又成等比數列，∴，解得或.…4分

               當時，不合題意，舍去. ∴.  …………………6分

         （Ⅱ）由（Ⅰ）知，. ………………………………………………8分

               ∴ …………10分

               ∴

   …………………………………………12分

（20）解法一：

     （Ⅰ）取的中點，連，則∥，

           ∴或其補角是異面直線與所成的角. ……………………2分

           設，則，

           .

           ∴. ………………………………4分

           ∵在中，. ……5分

           ∴異面直線與所成的角為. ……………………………6分

     （Ⅱ）連結，設是的中點，過點作于，連結，則

           .又∵平面平面

          ∴平面. ………………………………………………………8分

          而  ∴

          ∴是二面角的平面角. …………………………………9分

          由=，=，，得.……………10分

          即二面角為

          ∴所求二面角為. ………………………………12分

解法二：

（Ⅰ）如圖分別以、、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標

系. ……………………………………………………………………1分

      設，則、、、

      、.  ………………………………………………………2分

      ∴，

      ∴. ………………………5分

      ∴異面直線與所成的角為.  ………………………………………6分

（Ⅱ）由題意知點，設平面的一個法向量為

，

則， ∵，

∴，取，得. ………………8分

易知平面的一個法向量，

      ∴.  …………………………………………11分

      ∴二面角的大小為.  …………………………12分

（21）解：（Ⅰ），  ………………………………………………2分

               依題意，即解得

               ∴ ……………………………………………4分

         （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲線與有兩個不同的

交點，即在上有兩個不同的實數解…5分

設，則， ………7分

由0的或

當時，于是在上遞增；

當時，于是在上遞減. ………………9分

依題意有. …………………11分

∴實數的取值范圍是. …………………………………12分

（22)解：（Ⅰ）設點，由得.  …………2分

              由,得，即.  …………… 4分

              又點在軸的正半軸上，∴.故點的軌跡的方程是

. …………………………………………………………6分

（Ⅱ）由題意可知為拋物線：的焦點，且、為過焦點的直線與拋物

線的兩個交點,所以直線的斜率不為. ……………………………………7分

      當直線斜率不存在時，得，不合題意； ……8分

      當直線斜率存在且不為時，設，代入得

      ，

      則，解得. …………10分

      代入原方程得，由于，所以，由,

      得，∴. ……………………………………………………12分