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16、如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,E,F(xiàn),G分別是AA1,AC,BB1的中點,且CG⊥C1G.
(Ⅰ)求證:CG∥平面BEF;
(Ⅱ)求證:平面BEF⊥平面A1C1G.
分析:(Ⅰ)連接AG交BE于D,連接DF,EG,要證CG∥平面BEF,只需證明直線CG平行平面BEF內的直線DF即可;
(Ⅱ)要證平面BEF⊥平面A1C1G,只需證明平面BEF的直線DF,垂直平面A1C1G內的兩條相交直線A1C1、C1G,即可證明DF⊥平面A1C1G,從而證明平面BEF⊥平面A1C1G
解答:證明:(Ⅰ)連接AG交BE于D,連接DF,EG.
∵E,G分別是AA1,BB1的中點,
∴AE∥BG且AE=BG,
∴四邊形AEGB是矩形.
∴D是AG的中點(3分)
又∵F是AC的中點,
∴DF∥CG(5分)
則由DF?面BEF,CG?面BEF,得CG∥面BEF(7分)
(注:利用面面平行來證明的,類似給分)

(Ⅱ)∵在直三棱柱ABC-AB1C1中,C1C⊥地面A1B1C1,
∴C1C⊥A1C1
又∵∠A1B1C1=∠ABC=90O,即C1B1⊥A1C1,
∴A1C1⊥面B1C1CB(9分)
而CG?面B1C1CB,
∴A1C1⊥CG(11分)
又CG⊥C1G,
由(Ⅰ)DF∥CG,
∴A1C1⊥DF,DF⊥C1G
∴DF⊥平面A1C1G(13分)
∵DF?平面BEF,
∴平面BEF⊥平面A1C1G.(14分)
點評:本題考查直線與平面的平行的判定 平面與平面垂直的判定,開心邏輯思維能力 空間想象能力,是中檔題.
練習冊系列答案
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(II)求二面角A-A1D-B的平面角的余弦值;

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