如圖，點P在雙曲線y=

k

x

（k．＞0）第一象限內的分支上運動，以P為圓心的圓保持與y軸相切于點A，與雙曲線交于點B，點B在點P上方．
（1）當點P的橫坐標為2時，⊙P與y軸的切點A（0，

3

），試求雙曲線y=

k

x

的解析式；
（2）切點A是否有可能與坐標原點O重合？
（3）在（1）的條件下，是否存在點P，使得△ABP為正三角形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．