Question

在直角坐標系中，函數（x＞0，k為常數）的圖象經過A（4，1），點B（a，b）（0＜a＜4）是雙曲線上的一動點，過A作AC⊥y軸于C，點D是坐標系中的另一點．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）當四邊形ABCD為菱形時，試求B、D的坐標；
（3）若以A、B、C、D為頂點的平行四邊形的面積為12，那么對角線最長可達多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）直接將A點的坐標導入函數式中即可得出k的值，即可得出解析式；
（2）利用菱形的性質，可得出B點的坐標，再利用BE=ED，即可得出D點的坐標；
（3）結合題意，過點B作BF⊥AC于點F，可先將反比例函數式求解出，利用勾股定理得出PB；同時過點D₁作D₁M⊥CA于M，可得出CD₁的長；過D₂作D₂N⊥直線AC于N，并得出AD₂的長，分別比較BP、CD₁和AD₂的大小即可．
解答：解：（1）∵x=4，y=1，
∴，
∴k=4，
則（3分）

（2）如圖1，當四邊形ABCD是菱形時，BD垂線平分AC于E，
則可得a=2，b=2，即：B（2，2），（5分）
又∵BE=ED=1，BD⊥x軸，
∴D（2，0）（7分）

（3）如圖2，過B作BF⊥AC于F，
當平行四邊形ABCD面積為12時，BF•AC=12，
∴BF=3，即b=4．
把y=4代入得，x=1，則B（1，4）．（8分）
設BD交AC于P，PC=AP=2，CF=PF=1，
∴PB²=3²+1²=10，
∴，，（9分）
當四邊形AD₁BC面積為12時，過D₁作D₁M⊥CA于M，D₁M=BF=3，CF=AM=1，CD₁²=5²+3²=34，
∴．（10分）
當平行四邊形ABD₂C的面積為12時，
過D₂作D₂N⊥直線AC于N，CN=AF=3，D₂N=BF=3，AN=7．
∴AD₂²=7²+3²=58，，（11分）

，
∴對角線最長可達． （12分）
點評：本題主要考查了反比例函數的綜合應用以及平行四邊形的面積等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應用．