Question

在直角坐標系中，函數(shù)（x＞0，k為常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（4，1），點B（a，b）（0＜a＜4）是雙曲線上的一動點，過A作AC⊥y軸于C，點D是坐標系中的另一點．
（1）求雙曲線的解析式；
（2）當四邊形ABCD為菱形時，試求B、D的坐標；
（3）若以A、B、C、D為頂點的平行四邊形的面積為12，那么對角線最長可達多少？

Answer 1

解：（1）∵x=4，y=1，
∴，
∴k=4，
則

（2）如圖1，當四邊形ABCD是菱形時，BD垂線平分AC于E，
則可得a=2，b=2，即：B（2，2），
又∵BE=ED=1，BD⊥x軸，
∴D（2，0）

（3）如圖2，過B作BF⊥AC于F，
當平行四邊形ABCD面積為12時，BF•AC=12，
∴BF=3，即b=4．
把y=4代入得，x=1，則B（1，4）．
設(shè)BD交AC于P，PC=AP=2，CF=PF=1，
∴PB²=3²+1²=10，
∴，，
當四邊形AD₁BC面積為12時，過D₁作D₁M⊥CA于M，D₁M=BF=3，CF=AM=1，CD₁²=5²+3²=34，
∴．
當平行四邊形ABD₂C的面積為12時，
過D₂作D₂N⊥直線AC于N，CN=AF=3，D₂N=BF=3，AN=7．
∴AD₂²=7²+3²=58，，

，
∴對角線最長可達．　
分析：（1）直接將A點的坐標導入函數(shù)式中即可得出k的值，即可得出解析式；
（2）利用菱形的性質(zhì)，可得出B點的坐標，再利用BE=ED，即可得出D點的坐標；
（3）結(jié)合題意，過點B作BF⊥AC于點F，可先將反比例函數(shù)式求解出，利用勾股定理得出PB；同時過點D₁作D₁M⊥CA于M，可得出CD₁的長；過D₂作D₂N⊥直線AC于N，并得出AD₂的長，分別比較BP、CD₁和AD₂的大小即可．
點評：本題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的面積等多個知識點．此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識點的靈活應(yīng)用．