Question

如圖1，點A在第一象限，AB⊥x軸于B點，連結OA，將Rt△AOB折疊，使A點與x軸上的動點A′重合，折痕交AB邊于D點，交斜邊OA于E點，
（1）若A點的坐標為（8，6），當EA'∥AB時，點A'的坐標是______；
（2）若A'與原點O重合，OA=8，雙曲線的圖象恰好經過D、E兩點（如圖2），則k=______．

Answer 1

解：（1）∵AB⊥x軸，A點的坐標為（8，6），
∴OB=8，AB=6，
∴OA==10，
∵EA′∥AB，
∴EA′⊥x軸，
∴sin∠AOB==，
由折疊的性質可得：A′E=AE，
∴AE：OE=3：5，
∴A′E=AE=10×=，OE=×10=，
∴OA′==5，
∴點A′的坐標是：（5，0）；

（2）設點A的坐標為：（2a，2b），
∵A′與原點O重合，
∴點E的坐標為：（a，b），
∵雙曲線的圖象恰好經過D、E兩點，
∴k=ab，
∴點D的坐標為：（2a，b），
∴AB=2b，BD=b，OB=2a，
由折疊的性質可得：OD=AD=AB-BD=b，
在Rt△OBD中，OD²=OB²+BD²，
即（b）²=（2a）²+（b）²①，
在Rt△OAB中，OA²=OB²+AB²，
即8²=（2a）²+（2b）²②，
聯立①②得：a=，b=，
∴k=ab=．
故答案為：（1）（5，0）；（2）．
分析：（1）由AB⊥x軸，A點的坐標為（8，6），可求得OA的長，又由EA′∥AB，由三角函數與折疊的性質，可得AE：OE=3：5，則可求得AE與OE的長，然后由勾股定理求得OA′的長，即可求得答案；
（2）首先設點A的坐標為：（2a，2b），由A′與原點O重合，點E的坐標為：（a，b），又由雙曲線的圖象恰好經過D、E兩點，可得k=ab，點D的坐標為：（2a，b），即可得在Rt△OBD中，OD²=OB²+BD²，即（b）²=（2a）²+（b）²①，在Rt△OAB中，OA²=OB²+AB²，即8²=（2a）²+（2b）²②，聯立求解即可求得答案．
點評：此題考查了折疊的性質、勾股定理、反比例函數的性質以及三角函數等知識．此題難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．