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已知函數y=f(x)的定義域為R，對任意不相等的實數x₁,x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|，且f(p)=p(p為常數)，又在數列{a_n}中，a₁＜p,f(a_n)+a_n=2a_n+1,求證：

（1）a_n＜p;

(2)a_n+1＞a_n.

已知函數y=f(x)的定義域為R，對任意不相等的實數x₁,x₂，都有|f(x₁)-f(x₂)|＜|x₁-x₂|，且f(p)=p(p為常數)，又在數列{a_n}中，a₁＜p,f(a_n)+a_n=2a_n+1,求證：

（1）a_n＜p;

(2)a_n+1＞a_n.

已知二次函數f（x）=ax²+bx+1，對于任意的實數x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，且f（x+2）為偶函數．
（1）求a的取值范圍；
（2）求函數y=f（x）在[a，a+2]上的值域；
（3）定義區間[m，n]的長度為n-m．是否存在常數a，使的函數y=f（x）在區間[a，3]的值域為D，且D的長度為10-a³．

已知向量=（2cosx，2sinx），=，函數f（x）=•，（a為常數）．
（1）求函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若函數g（x）的圖象關于y軸對稱，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知對任意實數x₁，x₂，都有成立，當且僅當x₁=x₂時取“=”．求證：當時，函數g（x）在（-∞，+∞）上是增函數．