Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+1，對于任意的實數x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，且f（x+2）為偶函數．
（1）求a的取值范圍；
（2）求函數y=f（x）在[a，a+2]上的值域；
（3）定義區間[m，n]的長度為n-m．是否存在常數a，使的函數y=f（x）在區間[a，3]的值域為D，且D的長度為10-a³．

Answer 1

（1）由f（x+2）為偶函數可得f（x）=ax²+bx+1的圖象關于直線x=2對稱，
則-

b

2a

=2，b=-4a，f（x）=ax²-4ax+1；
對于任意的實數x₁、x₂（x₁≠x₂），都有

f(x1)+f(x1)

2

＞f(

x1+x2

2

)成立，則

f(x1)+f(x1)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1

2

(ax12-4ax1+1+ax22-4ax2+1)-[a(

x1+x2

2

)2-4a

x1+x2

2

+1]=

1

2

a(x1-x2)2＞0，
因為x₁≠x₂，
所以（x₁-x₂）²＞0，
故a＞0．
（2）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
因為a＞0，
所以a+2＞2．
當a+1≤2時，即0＜a≤1時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
函數y=f（x）的值域為[1-4a，a³-4a²+1]；
當1＜a≤2時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a+1，
函數y=f（x）的值域為[1-4a，a³-4a+1]；
當a＞2時，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=a³-4a+1，
函數y=f（x）的值域為[a³-4a²+1，a³-4a+1]．
（3）f（x）=ax²-4ax+1=a（x-2）²+1-4a，
當0＜a≤1時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=a³-4a²+1，
f（x）_max-f（x）_min=a³-4a²+1-（1-4a）=a（a-2）²，
由0＜a≤1時，1≤（a-2）²＜4，則a（a-2）²＜4，而10-a³＞9，不合題意；
當1＜a＜2時，f（x）_min=1-4a，f（x）_max=1-3a，
f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（1-4a）=a，
由1＜a＜2，得10-a³＞2，所以a≠10-a³，不合題意；
當2≤a＜3時，f（x）_min=a³-4a²+1，f（x）_max=1-3a，f（x）_max-f（x）_min=1-3a-（a³-4a²+1）=10-a³，
故4a²-3a-10=0，（4a+5）（a-2）=0，
因為2≤a＜3，
所以a=2．
綜上所述：存在常數a=2符合題意．